Третье занятие!

ЦЕЛЬ: Отработать приемы графического и аналитического способов решения уравнений с параметром, а также задачи о расположении корней квадратного уравнения, в зависимости от условия задачи.

Задание: Решить относительно уравнение, для каждого значения параметра . В данных уравнениях можно использовать как графический, так и аналитический способ решения.

Задание 2.1. Решить уравнение
I способ (графический). Основан на том , что правая и левая части уравнения разные по качеству и простые в построении графики функций. Рассмотрим функции - графиком является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат ; вершина параболы точка с координатами . Рассмотрим функцию - прямая параллельная 0x. Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики функций: и . По графикам построенных функций очевиден ответ.

Ответ: 1. нет решений.
       2. одно решение.
       3. два решения.

При решении графически можно только указать количество корней , но не всегда удается найти их аналитическое значение.

II способ (аналитический). Позволяет определить количество корней и их значение.<
Решить уравнение . Решение данного уравнения зависит от значения дискриминанта. Найдем его значение:
D=. Получаем
1. D < 0; a < -2 решений нет.
2. D = 0; a = 2 одно решение .
3. D > 0 a > -2 два решения .

Задание 2.2. (аналитически и графически). 2.3 (аналитически и графически).

Задание 2.3. (аналитически)

Задание 2.4. (аналитически)

Задание 2.5. При каких значениях параметра уравнение имеет более двух корней?
Решение: очевидно, что уравнение имеет более двух корней, если оно имеет вид 0х=0. Получаем систему из трех уравнений:
⇒ ⇒ a=1.
Ответ: при а = 2 уравнение имеет более двух корней.

Задание 2.6. Найти все значения параметра , для которых вершины парабол и лежат по разные стороны от прямой . Решение: Решение данной задачи начнем с анализа графической модели. Рассмотрим: функция - графиком является парабола, ветви направлены вверх. Функция - графиком является парабола, направление ветвей будет зависеть от значения параметра при .
Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:

Таким образом можно выделить четыре системы неравенств, где данных парабол лежит выше или ниже оси 0х , с учетом того, что ветви второй параболы могут быть направлены вверх и вниз.
Составим выражение задающее для каждой функции: 1) подставим в первую функцию, получаем ; 2) подставим во вторую функцию, получаем
Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:

Рассмотрим более подробно решение первой системы . преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:

Рационально далее решить систему методом интервалов :

совместных решений нет.

Объединяя решения систем получаем окончательный
Ответ:

Задание 2.7. Найти все действительные значения параметра а, для которых вершины парабол и лежат по разные стороны от прямой .

Решение: Рассмотрим функцию - графиком является парабола, ветви направлены вниз. Найдем точки пересечения с осью 0х: Очевидно, что при x=0 получаем у = 0. Таким образом, график функции (при любых значениях а) проходит через начало координат. Найдем координаты вершины параболы для того, чтобы оценить ее расположение относительно прямой Выделим полный квадрат: . Координаты вершины .
Замечаем, что ордината вершины есть квадрат абсциссы вершины параболы, следовательно, при любых а≠0, вершина параболы заданной функцией
лежит выше прямой

Чтобы выполнялось условие задачи необходимо, чтобы график функции располагался ниже То есть имело решение неравенство < Данное неравенство имеет решение, если ордината вершины параболы заданной функцией лежит ниже оси 0х. Вычислим интересующую нас ординату: тогда Выполнение условия задачи равносильно неравенству: . В первой части решения оговаривается условие а≠0, то получаем

Ответ:

Задание 2.8. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения действительные, различные и оба больше а.
Решение: Графическая интерпретация данной задачи: Уравнение будет иметь два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда:

⇒ ⇒

где а - абсцисса вершины параболы
Ответ: .

Задание 2.9. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения неотрицательны.

Решение: Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня. Графическая интерпретация данной задачи:

Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно
1) или 2) решая системы методом интервалов, получаем:

1) пустое множество 2)

Ответ:

Задание 2.10. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения имеют разные знаки.

Решение: Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции , пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен
принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:

Тогда искомое условие задачи имеет вид:

Ответ: .

Задание 2.11. Найти все значения параметра k, при которых уравнение имеет два корня, причем один из них больше 2, а другой меньше 2.

Решение: Предлагаю графическую интерпретацию, составить систему неравенств, удовлетворяющих условию задачи – самостоятельно.

Ответ:

Задание 2.12. При каких значениях параметра а, корни уравнения принадлежат отрезку ?

Решение: При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена , соответствующая парабола располагается:

Решение данной задачи определяется условием: ⇔ решаем систему методом интервалов, откуда

Ответ: .

Задание 2.13. При каких значениях параметра а корни уравнений и не перемежаются (уравнения имеют по два различных корня; между корнями одного нет корней другого)?

Решение: Положение графиков функций и при требуемых ограничениях на корни изображается графически следующим образом:

Найдем абсциссу точки пересечения данных графиков: = ⇔ .Тогда расположение пар корней, когда они не перемежаются, определяется условиями:

Ответ: а ∈ пустому множеству.

Задание 2.14. Найти все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнений и различны и между двумя корнями одного из них находится ровно один корень другого.

Найдем абсциссу точки пересечения данных графиков: = ⇔ когда они перемежаются, определяется условиями:

Ответ: а∈(0;1).